lunes, 25 de febrero de 2013

ÀREA Y VOLUMEN




1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
integral definida
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
puntos de corte con los ejes
representación gráfica
En segudo lugar se calcula la integral:
área

2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
representación gráfica
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
punto de corte
integral
derivar
integrar
integral de indefinida
solución

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
integral definida

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
puntos de corte con los ejes
representa gráfica
integral
solución

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
función coseno
integral
solución

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
ecuación
puntos de corte
representación gráfica
área
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
solución

2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
se conferencia
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
integral definida
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
integral indefinida
cambio de variable
cabe de variable
integral
operaciones
Hallamos los nuevos límites de integración.
carne variable
cambie variable
área
área del círculo

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
integral

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
sistema de ecuaciones
representación gráfica
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
integral
solución

2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
puntos de corte
gráfica
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
solución

3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
función cuadrática
vértice
función cuadrática
vértice
puntos de corte con los ejes
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
sistema de ecuaciones
representación gráfica
integral
solución

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
vértice
ecuación
vértice
. Este corte con los ejes
puntos de corte
representación gráfica
área
área
área
área total

5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
punto de corte
representación gráfica
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de 
integración.
área

Volumen de una función


El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:
volumen

Ejemplos

1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sen xx = 0x = π
solución
2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
volumen
3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
esfera
integral
volumen de la esfera
4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:
volumen
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.
representación gráfica
Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.
solución
5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
Alrededor de su eje menor.
representación gráfica
Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.
ecuación
primer volumen
ecuación
segundo volumen
6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
puntos de corte
representación gráfica
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
integral definida
solución

http://www.inetor.com/definidas/integral_area.html


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