Brillo Matemático 2: MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

TEOREMA 1
Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

Demostración:
=>)

, luego

.
<=)
Si

en un entorno de a.

Si ; es decir y f creciente en a.
Si ; es decir y f creciente en a.

TEOREMA 2
Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Si una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.

EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS

TEOREMA
Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo en a, entonces f´(a) = 0.

Demostración:
Veámoslo para el máximo (la demostración para el mínimo es idéntica).

Al ser f derivable en a, las derivadas laterales deben coincidir, luego f´(a) = 0.

El recíproco no es cierto:

f(x) = x ³ derivable en 0, y f´(x) = 3 x², con f´(0) = 0; pero f no tiene máximo ni mínimo en ningún punto (es estrictamente creciente).
f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.

CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD

Definiciones:

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) > f(a) + f´(a) · (x - a)

Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) < f(a) + f´(a) · (x - a)

Criterios de concavidad o convexidad:

Por la derivada primera:
1. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes aumentan (f´ creciente).
2. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes disminuyen (f´ decreciente).
Por la derivada segunda:
1. Si f es convexa entonces f´ creciente, por lo tanto f´´ > 0
2. Si f es cóncava entonces f´ decreciente, por lo tanto f´´ < 0

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Proposición.

Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si

es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

INTERPRETACIóN GRáFICA

La recta tangente en un punto de inflexión atraviesa a la gráfica de la función.

FÓRMULA DE TAYLOR

Si f admite derivadas hasta el orden n y son continuas en el intervalo [a,x] y además existe la derivada de orden n+1 en cualquier punto del intervalo (a,x), se verifica:

siendo

.

Este teorema es la «generalización» del teorema de Lagrange. Para su demostración se aplica el teorema de Rolle a la función

, siendo:

Al término

se le llama resto de Lagrange.

CRITERIOS PARA LA MONOTONÍA Y LOS EXTREMOS RELATIVOS

Sea f una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, de forma que en a se anulan las n - 1 primeras derivadas, y la primera que no se anula es de orden n. En la fórmula de Taylor se tiene:

y al tomar límites cuando x >a existe un entorno de a donde:

, y por tanto:

Si n es impar:
1. Si
2. Si
Si n es par:
1. Si
2. Si

CRITERIOS PARA CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Si f es una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, y tal que:

por la fórmula de Taylor se tiene:

y tomando límites cuando x >a se tiene que en un entorno de a:

Si nos fijamos en el primer término de la igualdad, se estudia el signo de la función comparándola con el signo de la recta tangente, por lo tanto:

Si la recta tangente está por encima de la gráfica de la función y dicha función es cóncava.
Si la recta tangente está por debajo de la gráfica de la función y dicha función es convexa.