lunes, 17 de diciembre de 2012

MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO




MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

TEOREMA 1
Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

Demostración:
=>)
, luego .
<=)
Si  en un entorno de a.
  1. Si ; es decir  y f creciente en a.
  2. Si ; es decir  y f creciente en a.


TEOREMA 2
Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Si una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.

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EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS

TEOREMA
Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo en a, entonces f´(a) = 0.

Demostración:
Veámoslo para el máximo (la demostración para el mínimo es idéntica).
Al ser f derivable en a, las derivadas laterales deben coincidir, luego f´(a) = 0.


El recíproco no es cierto:
  • f(x) = x 3 derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no tiene máximo ni mínimo en ningún punto (es estrictamente creciente).
  • f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.

CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD

Definiciones:

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) > f(a) + f´(a) · (x - a)

Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) < f(a) + f´(a) · (x - a)

Criterios de concavidad o convexidad:

  1. Por la derivada primera:
    1. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes aumentan ( creciente).
    2. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes disminuyen ( decreciente).
  2. Por la derivada segunda:
    1. Si f es convexa entonces  creciente, por lo tanto f´´ > 0
    2. Si f es cóncava entonces  decreciente, por lo tanto f´´ < 0
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PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Proposición.

Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si  es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.


INTERPRETACIóN GRáFICA

La recta tangente en un punto de inflexión atraviesa a la gráfica de la función.
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FÓRMULA DE TAYLOR

Si f admite derivadas hasta el orden n y son continuas en el intervalo [a,x] y además existe la derivada de orden n+1 en cualquier punto del intervalo (a,x), se verifica:
siendo .

Este teorema es la «generalización» del teorema de Lagrange. Para su demostración se aplica el teorema de Rolle a la función , siendo:
Al término  se le llama resto de Lagrange.
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CRITERIOS PARA LA MONOTONÍA Y LOS EXTREMOS RELATIVOS

Sea f una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, de forma que en a se anulan las n - 1 primeras derivadas, y la primera que no se anula es de orden n. En la fórmula de Taylor se tiene:  y al tomar límites cuando x   >a existe un entorno de a donde: , y por tanto:
  1. Si n es impar:
    1. Si 
    2. Si 
  2. Si n es par:
    1. Si 
    2. Si 
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CRITERIOS PARA CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Si f es una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, y tal que:
por la fórmula de Taylor se tiene:  y tomando límites cuando x   >a se tiene que en un entorno de a:
Si nos fijamos en el primer término de la igualdad, se estudia el signo de la función comparándola con el signo de la recta tangente, por lo tanto:
  • Si  la recta tangente está por encima de la gráfica de la función y dicha función es cóncava.
  • Si  la recta tangente está por debajo de la gráfica de la función y dicha función es convexa.
Por lo tanto:
  1. Si n es par:
    1. Si 
    2. Si 
  2. Si n es impar, el signo cambia según estemos a la izquierda o a la derecha de a, por lo tanto habrá un punto de inflexión.

EJEMPLO 1

f(x) = x4 en a = 0. Es:
Por lo tanto, la función es convexa y presenta un mínimo relativo.

EJEMPLO 2

f(x) = x5 en a = 0. Es:
Por lo tanto, la función es creciente y presenta un punto de inflexión.


http://www.juangordillo.com/derivadas/derivadas5.html

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