LA INTEGRAL

Antiderivadas Una antiderivada de una función f es una función F tal que F'= f. Antiderivada en palabras: Una antiderivada de una dada función es una función cuya derivada es la dada función.	Ejemplos 1.  Una antiderivada de 4x3 es x4     porque la derivada de x4 es 4x3 2.  Una otra antiderivada de 4x3 es x4 + 7     porque la derivada de x4 + 7 es también 4x3 3.  Una antiderivada de 2x es x2 + 12.     porque la derivada de x2+12 es 2x
Integral indefinida La expresión f(x) dx se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjuncto de todas las antiderivadas de f. Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa "respecto a x.")	Ejemplos 1. 4x3 dx  = x4 + C     C es una constante arbitraria 2. 2x dx  = x2 + C
Regla de potencias para integrales xn dx = xn+1 n + 1 + C     si n ≠ -1 x-1 dx = ln|x|+ C En palabras: Para calcular la integral de xn, se añade 1 al exponente, y se divide por el nuevo exponente. Esta regla es válida siempre y cuando n no sea -1. Notas 1. La integral 1 dx se suele escribir como  dx. 2. En forma parecida, 1 x55 dx se puede escribir como dx x55 .	Ejemplos 1. x55 dx = x56 56 + C 2. 1 x55 dx = x-55 dx = - x-54 54 + C 3. dx = x0 dx = x1 1 + C = x + C
Algunas integrales de funciones exponenciales y logaritmicos ex dx = ex + C porque d dx ex = ex cos x dx = sin x + C porque d dx sin x = cos x sin x dx = -cos x + C         porque d dx (-cos x) = sin x sec2x dx = tan x + C porque d dx tan x = sec2x
Algunas reglas para la integral indefinida (a) Reglas de sumas y diferencias [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx En palabras: La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales. (b) Regla de múltiples constantes kf(x) dx = k f(x) dx       (k constant) En palabras: Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" ) ¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.	Ejemplos Suma: (x3 + 1) dx = x3 dx + 1 dx = x4 4 + x + C Múltiple constante: 5x3 dx = 5 x3 dx = 5x4 4 + C Múltiple constante: 4 dx = 4 1 dx = 4x + C Ambas reglas: (6x2 + 4) dx = 6 x dx + 4 1 dx = 6x3 3 + 4x + C = 2x3 + 4x + C Quería practicar? Pruebe la tutorial o los ejercicios. I
Sustitución Si u sea una función de x, podemos utilizar la próxima fórmula para evaluar una integral: f dx = f du/dx du Usando la fórmula Uso de esta fórmula equivale a el procedimiento siguiente : 1. Escriba u como una función de x. 2. Toma la derivada du/dx, y despeje a la cantidad dx como función de du. 3. Use la expresión que obtiene en parte 2 para sustituir para dx en la integral original. Eligiendo a la u mejor No hay una regla definida para elegir a u, pero hay algunas directrices que sirven a menudo son las siguientes: Elija para u una expresión que está elevando a una potencia. Elija para u t una expresión cuya derivada aparece como un factor del integrando. Elija para u el denominador en una expresión racional. Si la variable x no se puede eliminar por una sustitución, pruebe una otra sustitución.	Ejemplo Para evaluar (x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx, continúe como sigue: u = x3 + 3x - 2     Escoja una expresión para u du dx = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1)     Tome du/dx dx = du 3(x2 + 1)     Despeje a dx Ahora sustituya en la integral para llegar al solución como sigue: (x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx = (x2+1)u2 du 3(x2 + 1) Sustituya u y dx = u2 du 3 Cancele para eliminar x = 1 3 u2 du Regla de múltiples constantes = 1 3 u3 3 + C Tome la integral = (x3+3x-2)3 9 + C Sustituya para obtener la respuesta en téminos dex
Applicaciones: Movimiento recilíneo Si s(t) representa posición al instante t, entonces su velocidad es dado por v(t) = s'(t) and acceleration by a(t) = v'(t). Esto significa que v(t) = a(t) dt y s(t) = v(t) dt. Además, para movimiento por gravedad cerca la superficie de la Luna, ignorando la resistencia al aire, a(t) ≈ -9.8 m/s2 es constante. Si se integramos dos veces, obenemos las ecuaciones v(t) = v0 - 9.8t m/sec   y s(t) = s0 + v0t -4.9t2 m donde v0 es la velocidad inicial y s0 es la posición inicial.
Integral definida como suma: enfoque numérico Si u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral: Suma de Riemann Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue. Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales: Δx = (b-a)/n, x0 = a, x1 = a + Δx, x2 = a + 2Δx, ... xn = a + nΔx = b Luego, se suma los n productos f(x0)Δx, f(x1)Δx, f(x2)Δx, ..., f(xn -1)Δx, para obtener la suma de Riemann. Entonces, Suma (izquierda) de Riemann = n-1 n = 0 f(xk)Δx = f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(xn -1)Δx = [f(x0) + f(x1) + ... + f(xn -1)]Δx La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo. La intergal definida Si f sea una función continua, la integral definida de f de a a b se define como b a f(x) dx = lim n n-1 n = 0 f(xk)Δx En palabras: La intergal definida es el límite de los sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones vuelve más y más grande (tiende a +∞). La función f se llama le integrando, los números a y b son los límites de integración, y el variable x se llama la variable de integración. Aproximando la integral definida Para aproximar la integral definida, usamos una suma de Riemann con un número grande de subdivisiones.	Ejemplos Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral -11(x2+1) dx usando n = 5 subdivisiones. Primero, para calcular las subdivisiones: Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4. x0 = a = -1 x1 = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6 x2 = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2 x3 = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2 x4 = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6 x5 = b = 1 La suma de Riemann que buscamos es f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(x4)Δx   = [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4 Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue: x -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 Total f(x) = x2+1 2 1.36 1.04 1.04 1.36 6.8 La suma de Riemann es, entonces, 6.8Δx = 6.80.4 = 2.72.
Integral definida como área: enfoque geométrico Interpretación geométrica de la integral definida (funciones no negativas) Si f(x) ≥ 0 por toda x en [a, b], entonces abf(x) dx es el área abajo de la gráfica de f y arriba del intervalo [a, b], como está sombreado en la figura siguiente. Interpretación geométrica de la integral definida (todas funciones) Para funciones generales, abf(x) dx es el área entre x = a y x = b que está abajo la gráfica de f y arriba del eje x, menos el área abajo del eje x y arriba de la gráfica de f. b a f(x) dx = Área verde - Área rojo	Ejemplos 1. 2 0 x dx = 2 Área mostrado = 2 2. 1 -1 x dx = 0 Verde - Rojo = 0 Relación entre la suma de Riemann y la definición en términos de área La siguiente figura ilustra la relación entre la suma (izquierda) de Riemann y el área debajo de la gráfica para la integral 01 (1-x2) dx. Si Δx está el ancho de cada rectángulo, entonces: Área del rectángulo primero (más izquierda) = altura × ancho = f(0)Δx = f(x0)Δx Área del rectángulo segundo = altura × ancho = f(x1)Δx .... Área del rectángulo último = altura × ancho = f(xn -1)Δx Sumando los áreas de todos los rectángulos da la suma de Riemann. Cuando el númeron de rectángulos vuelve más y más grande (entonces cada uno tiene un ancho que se acerca a cero) el área representado por la suma de Riemann se acerca al área actual. Entonces, Límite de las sumas de Riemann = Integral = Área
Integral definida: enfoque algebráico y el teorema fundamental de cálculo Teorema fundamental de cálculo (TFC) Sea f una función contínua y definida en el intervalo [a, b]. Entonces: (a) Si A(x) = ax f(t) dt, entonces A'(x) = f(x), esto es, A está una antiderivada de f, y (b) Si f es alguna antiderivada continua de f definida en [a, b], entonces b a f(x) dx = F(b) - F(a). Parte (b) en palabras: Para calcular la integral definida ∫abf(x) dx sin tener que usar ningún sumas de Riemann, todo que debemos hacer es buscar una antiderivada de f, evaluarla a x= b, evaluarla a x = a, y restar.	Ejemplos Ejemplo de (a) Si   A(x) = x 0 et2 dt,   entonces  A'(x) = ex2. Ejemplo de (b) Como F(x) = x2 es una antiderivada de f(x) = 2x, 1 0 2x dx   =   F(1) - F(0) = 12 - 02 = 1. Un otro ejemplo of (b) 1 -1 (1-x2) dx = x - x3/3 1 -1 = 2 3 - (- 2 3 ) = 4 3

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